تعريف الإحداثيات القطبية في الرياضيات

تُعتبر الإحداثيات القطبية وسيلة فعّالة لتحديد موقع نقطة معينة في المستوى الإحداثي، حيث تعتمد على نظام مختلف عن النظام الديكارتي التقليدي، الذي يستخدم المحورين السيني والصادي لتحديد الموقع في الاتجاهين الأفقي والعمودي.

تتيح الإحداثيات القطبية وصف موقع النقاط في الفضاء الكروي أو ثلاثي الأبعاد، مما يسهم في تحسين دقة النتائج عند دراسة الأجسام ذات الأبعاد المتعددة، وهو ما يتطلب استخدام هذا النظام من الإحداثيات.

مكونات الإحداثيات القطبية وكيفية تمثيلها

تعتمد النقاط في الإحداثيات القطبية على متغيرين رئيسيين، وهما المسافة بين النقطة ومركز الإحداثيات (نقطة الأصل) والزوايا المكونة مع المحور المرجعي، والذي غالبًا ما يكون المحور السيني الموجب. وفيما يلي الرموز الأساسية المرتبطة بالإحداثيات القطبية:

• نصف القطر (r)

يمثل المسافة المستقيمة بين النقطة الموجودة على المحور القطبي والقطب أو نقطة المرجع.

• إحداثيات الزاوية (θ)

هي الزاوية التي تقاس من المحور المرجعي، وعادة ما تُقاس باتجاه عكس عقارب الساعة.

• القطب

يشير إلى النقطة المرجعية المستخدمة في نظام الإحداثيات القطبية.

• المحور القطبي

يمثل الشعاع الذي يبدأ من نقطة القطب وينطلق في الاتجاه المرجعي، وهو الخط الذي يُقاس منه الزاوية.

يمكن رسم الإحداثيات القطبية باستخدام الأرباع الديكارتية المعروفة عن طريق رسم حلقات دائرية حول نقطة الأصل، حيث تمثل هذه الحلقات وحدات المسافة (1، 2، 3… إلخ) ومن ثم رسم خطوط مائلة لتحديد الزوايا المطلوبة. على سبيل المثال، تقع الزاوية 30 درجة في الربع الأول، بينما تقع الزاوية 270 درجة في الربع الثالث، وهكذا.

كما يُفضل استخدام ورقة بيانية مخصصة لرسم الإحداثيات القطبية، والتي تحتوي على شبكة لتمثيل الزوايا بشكل دقيق. يمكن التعبير عن الزوايا إما بالدرجات أو بالراديان، الذي يُرمز له بالرمز π.

الفروق بين المحاور الديكارتية والقطبية

يمكن ملاحظة أن الاختلاف الرئيسي بين المحاور الديكارتية والقطبية يكمن في الأبعاد التي تعنى كل واحدة منها بالدراسة. في حين تركز المحاور الديكارتية على النقاط والأجسام ثنائية الأبعاد، تهتم المحاور القطبية بدراسة النقاط أو الأجسام في أبعاد ثلاثة. فيما يلي مقارنة رياضية بين النوعين:

• تستخدم المتغيرات (X, Y) للإشارة إلى إحداثيات نقطة ما في النظام الديكارتي، في حين يُستخدم (r, θ) لوصف طول الشعاع بين النقطة ونقطة الأصل، بالإضافة إلى الزاوية بين هذا الشعاع والمحور السيني الموجب.
• يمكن كتابة العلاقة بين الإحداثيات الديكارتية والقطبية كالتالي: X = r cosθ و Y = r sinθ.