مقدمة إلى مفهوم الدوال المثلثية
الدوال المثلثية
تعتبر الدوال المثلثية من العناصر الأساسية في علم المثلثات، وهو أحد فروع الرياضيات المُعنية بدراسة الزوايا وتطبيقاتها في الحسابات. والمعروف أن هناك ست دوال مثلثية رئيسية، وهي: الجيب (Sin)، جيب التمام (Cos)، الظل (Tan)، ظل التمام (Cot)، القاطع (Sec)، والقاطع التام (Csc). هذه الدوال تم اشتقاقها استناداً إلى المثلثات القائمة الزاوية، وقد ساهم تطور علم المثلثات في تلبية الحاجة إلى حساب الزوايا والمسافات في مجالات علمية متعددة، مثل الفلك، رسم الخرائط، والمسح، وأيضاً في تحديد نطاق المدفعية.
الصيغ الأساسية للدوال المثلثية
تتضمن الدوال المثلثية الأساسية المستخدمة في علم المثلثات النسب بين أضلاع المثلث القائم الزاوية، ونعني بذلك الضلع العمودي، الوتر، والقاعدة. ويمكن حساب قيمة هذه الدوال عن طريق الاعتماد على أبعاد المثلث القائم وفقًا للصيغ التالية:
- جيب الزاوية (sin θ): هو ناتج قسمة طول الضلع المقابل للزاوية على طول الوتر (sin θ = Perpendicular/Hypotenuse).
- جيب التمام للزاوية (cos θ): هو ناتج قسمة طول الضلع المجاور للزاوية على طول الوتر (cos θ = Base/Hypotenuse).
- ظل الزاوية (tan θ): وهو ناتج قسمة طول الضلع المقابل للزاوية على طول الضلع المجاور (tan θ = Perpendicular/Base).
- قاطع الزاوية (sec θ): يُحسب كناتج قسمة طول الوتر على طول الضلع المجاور (sec θ = Hypotenuse/Base).
- قاطع تمام الزاوية (cosec θ): هو ناتج قسمة طول الوتر على طول الضلع المقابل (cosec θ = Hypotenuse/Perpendicular).
- ظل تمام الزاوية (cot θ): يُستخرج من قسمة طول الضلع المجاور على طول الضلع المقابل (cot θ = Base/Perpendicular).
قيم الدوال المثلثية للزوايا الرئيسية
تمثل الاقترانات الأساسية الجيب وجيب التمام والظل، والتي يمكن اشتقاق الدوال الأخرى منها، بينما تُستخدم هذه الاقترانات الثلاثة بشكل واسع في مقارنة الوظائف المثلثية الأساسية. قيم هذه الدوال للزوايا المعروفة (°0، °30، °45، °60، °90) موضحة في الجدول التالي:
| النسب المثلثية (Trigonometric Ratios) | 0 ° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° |
| جيب الزاوية (Sin θ) | 0 | 1/2 | 1/√2 | √3/2 | 1 |
| جيب تمام الزاوية (Cos θ) | 1 | √3/2 | 1/√2 | 1/2 | 0 |
| ظل الزاوية (Tan θ) | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | ∞ |
| قاطع تمام الزاوية (Cosec θ) | ∞ | 2 | √2 | 2/√3 | 1 |
| قاطع الزاوية (Sec θ) | 1 | 2/√3 | √2 | 2 | ∞ |
| ظل تمام الزاوية (Cot θ) | ∞ | √3 | 1 | 1/√3 | 0 |
المجال والمدى للدوال المثلثية
لتحديد الرسم البياني الصحيح للدوال المثلثية، من الضروري معرفة المجال والمدى لكل دالة. القيم التي سيتم تمثيلها على مستوى الأبعاد X وY هي كما يلي:
| الدالة (Function) | تعريف الدالة (Definition) | المجال (Domain) | المدى (Range) |
| اقتران جيب (Sine Function) | y=sin x | x ∈ R | − 1 ≤ sin x ≤ 1 |
| اقتران جيب التمام (Cosine Function) | y=cos x | x ∈ R | − 1 ≤ cos x ≤ 1 |
| اقتران الظل (Tangent Function) | y=tan x | x ∈ R, x≠(2k+1)π/2 | − ∞ |
| اقتران ظل التمام (Cotangent Function) | y=cot x | x ∈ R, x≠k π | − ∞ |
| اقتران القاطع (Secant Function) | y=sec x | x ∈ R, x≠(2k+1)π/2 | sec x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) |
| اقتران قاطع التمام (Cosecant Function) | y=csc x | x ∈ R, x≠k π | csc x ∈ (−∞, −1] ∪ [1, ∞) |
المتطابقات المثلثية
هنا نعرض أهم المتطابقات المرتبطة بدوال حساب المثلثات:
المتطابقات الزوجية والفردية
الدالتان جيب التمام (cos) وقاطع الزاوية (sec) تُعتبران دالتان زوجيتان، في حين أن باقي الدوال المثلثية تصنف كدوال فردية. شكل قيم الدوال الفردية هو كما يلي:
- sin(-x) = -sin x
- cos(-x) = cos x
- tan(-x) = -tan x
- cot(-x) = -cot x
- csc(-x) = -csc x
- sec(-x) = sec x
متطابقات فيثاغورس
تُعبر نظرية فيثاغورس باستخدام الدوال المثلثية من خلال المتطابقات التالية:
- sin² x + cos² x = 1
- 1 + tan² x = sec² x
- cosec² x = 1 + cot² x
الاقترانات الدورية
تُصنف الدوال المثلثية كاقترانات دورية، حيث تُعد أصغر دورة دورية هي 2π، ولكن بالنسبة للظل وظل التمام فهي π. الدوال الدورية هي كما يلي:
- sin(x+2nπ) = sin x
- cos(x+2nπ) = cos x
- tan(x+nπ) = tan x
- cot(x+nπ) = cot x
- csc(x+2nπ) = csc x
- sec(x+2nπ) = sec x
حيث إن n هو أي عدد صحيح.
متطابقات المجموع والفرق
- sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
- sin(x–y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
- cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
- cos(x–y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
- tan(x+y) = [tan(x) + tan(y)] / [1 – tan(x)tan(y)]
- tan(x-y) = [tan(x) – tan(y)] / [1 + tan(x)tan(y)]
أحدث التعليقات