تحليل الأعداد إلى العوامل الأولية

يُعرف تحليل الأعداد إلى العوامل الأولية بأنه عملية رياضية تهدف إلى تحديد الأعداد الأولية التي تتكون منها عدد معين، حيث تُضرب هذه الأعداد ببعضها للحصول على العدد الأصلي. العدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من 1، ولا يمكن تمثيله كحاصل ضرب أعداد صحيحة أخرى. من بين الأعداد الأولية المعروفة، نجد الأعداد التالية مرتبة: (2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23).

هناك طريقتان رئيسيتان لتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية، الأولى هي طريقة القسمة، والثانية هي طريقة الشجرة.

تحليل الأعداد إلى العوامل بواسطة القسمة

تُعتبر طريقة القسمة الطريقة التقليدية الأكثر استخداماً وشيوعاً لتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية، وتتم العملية عبر الخطوات التالية:

1. يفضل البدء بأصغر عدد أولي ممكن، والبداية تكون من العدد 2 ثم الانتقال إلى 3 و5 وهكذا.
2. يتم قسمة العدد المستهدف على العدد الأولي الذي تم اختياره في الخطوة السابقة.
3. ينظر إلى نتيجة القسمة لتحديد ما إذا كان بالإمكان قسمة الناتج مرة أخرى على عدد أولي.
4. إذا كانت القسمة ممكنة، تُكرر العملية مع الناتج.
5. تستمر القسمة حتى الوصول إلى عدد أولي نهائي، حيث لا يمكن الاستمرار في القسمة.
6. تتم كتابة الأعداد الأولية التي تم استخدامها خلال كافة مراحل القسمة.

تحليل الأعداد إلى العوامل بطريقة الشجرة

قد يكون من الأسهل تبسيط العدد المراد تحليله قبل البدء في التحليل إلى عوامله الأولية. تُعتبر هذه الطريقة بسيطة وفعّالة، حيث يتم إيجاد عددين بحيث يكون حاصل ضربهما هو العدد الأصلي الذي نريد تحليله. يتبع ذلك إجراء التحليل إلى أعداد أولية لهذين العددين. وتتم العملية كما يلي:

1. يتم تقسيم العدد المركب المراد تحليله إلى عددين، بحيث يكون ناتج ضربهما هو العدد الأصلي.
2. يتم إيجاد العوامل الأولية للعددين الناتجين.
3. إذا أسفرت التجزئة عن عدد مركب آخر، يتم تجزئته مرة أخرى إلى عددين.
4. تكرر عملية التجزئة حتى يتم الوصول إلى أعداد أولية.
5. تنتهي العملية عند الوصول إلى أعداد لا يمكن تحليلها أكثر.

أمثلة على تحليل الأعداد إلى العوامل

فيما يلي مجموعة من الأمثلة التوضيحية لتحليل الأعداد إلى العوامل:

• مثال:

ما هو تحليل العدد 24 إلى عوامله الأولية باستخدام طريقة القسمة التقليدية؟

الحل:

1. 24 ÷ 2 = 12
2. 12 ÷ 2 = 6
3. 6 ÷ 2 = 3
4. لذا، 24 = 2 × 2 × 2 × 3
5. وبذلك، العوامل الأولية للعدد 24 هي: (2، 2، 2، 3).

• مثال:

جد العوامل الأولية للعدد 24 باستخدام طريقة الشجرة.

الحل:

42

\ /

12 2

\ /

6 2

\ /

3 2

1. إذن، 24 = 2 × 2 × 2 × 3
2. وبالتالي، الأعداد المركبة للعدد 24 هي: (24، 12، 6).
3. العوامل الأولية للعدد 24 هي: (2، 2، 2، 3).

• مثال:

ما هو تحليل العدد 100 إلى عوامله الأولية باستخدام طريقة القسمة التقليدية؟

الحل:

1. 100 ÷ 2 = 50
2. 50 ÷ 2 = 25
3. 25 ÷ 5 = 5
4. لذا، 100 = 2 × 2 × 5 × 5
5. وبذلك، العوامل الأولية للعدد 100 هي: (2، 2، 5، 5).

• مثال:

ما هو تحليل العدد 100 إلى عوامله الأولية باستخدام طريقة الشجرة؟

الحل:

100

\ /

25 4

\ / \ /

5 5 2 2

1. إذن، 100 = 5 × 5 × 2 × 2
2. وبذلك، الأعداد المركبة للعدد 100 هي: (100، 25، 4).
3. العوامل الأولية للعدد 100 هي: (5، 5، 2، 2).

تحليل العبارات الجبرية إلى العوامل

تحليل العبارات الجبرية إلى العوامل يعرف بأنه أسلوب رياضي يُستخدم لتبسيط صيغ المقادير الجبرية من أجل تسهيل عملية الحل. تختلف طرق التحليل باختلاف نوع وشكل ودرجة العبارة الجبرية، وتشمل استخراج العامل المشترك، إعادة تجميع الحدود، إيجاد الفرق بين مربعين، أو استخدام بعض المتطابقات الرياضية المعروفة.

تحليل العبارة التربيعية

المعادلة التربيعية هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية تحتوي على متغير أو أكثر من الدرجة الثانية، ويجب تحليلها إلى عواملها الأولية لإيجاد الحل. يجب التنويه إلى أنه يمكن حل جميع العبارات التربيعية باستخدام القانون العام: س = -ب ± [ب² – (4 × أ × جـ)]√ / 2 × أ حيث:

• أ: معامل س²
• ب: معامل س
• جـ: الحد المطلق وهو عدد ثابت

تعتبر هذه الطريقة في التحليل طويلة، لذا يفضل الكثيرون تحليل العبارات إلى عواملها الأولية بالاستناد إلى شكل المعادلة التربيعية كما يلي:

تحليل أس² + ب س + جـ

يمكن تحليل هذه المعادلة بطريقة التخمين أو التجربة والخطأ على النحو التالي:

1. يتم تخمين زوج من الأرقام بحيث ينتج عن جمعهما الثابت (معامل س) وعند ضربهما يكون الناتج هو الثابت جـ (الحد المطلق).
2. افتح قوسين وتحليل الحد الأول كما يلي: (س)(س).
3. حلّل الحد الأخير إلى عوامله الأولية باستخدام الخطوة السابقة وضع كل عامل في قوس.
4. تأكد من صحة التحليل من خلال إيجاد ناتج ضرب القوسين.

تحليل أس² + ب س

يمكن حل هذه المعادلة التي حدها المطلق (معامل جـ = 0) عن طريق استخراج العامل المشترك كالتالي:

1. يتم استخراج العوامل المشتركة سواء كانت أعداد (ثوابت) أو متغيرات (مثل: س).
2. تُوضع محتويات العوامل المشتركة في قوسين مختلفين، بحيث يختص أحد الأقواس بالثوابت والآخر بالمتغيرات.
3. تبسيط المعادلة أكثر إن أمكن.

تحليل أس² + جـ

يمكن حل هذه المعادلة بطريقة استخراج العامل المشترك كما يلي:

1. يتم استخراج الثوابت كعوامل مشتركة إذا وجدت.
2. توضع محتويات العوامل المشتركة في قوسين مختلفين، بحيث تشمل الأقواس الأعداد الثوابت والمعاملات (س).
3. تأكد من أن طرف المعادلة الآخر يساوي صفر.
4. تبسيط المعادلة أكثر إذا كان ذلك ممكنًا.

تحليل العبارة التكعيبية

العبارة التكعيبية هي معادلة كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، ولها الصيغة أس³ + ب س² + جـ س + د = 0. يمكن حل معادلة العبارة التكعيبية باستخدام القانون العام:

س = [ك + (ك² + (ر – ل)³)√]^(1/3) + [ك – (ك² + (ر – ل)³)√]1/3 + ل

حيث:

• ل = -ب / 3أ
• ك = ل³ + (ب جـ – 3 أ د) / 6 أ²

تأخذ هذه الصيغة وقتًا طويلاً للاستخدام، ولا يُفضل استخدامها إلا في حال عدم الرغبة في استخدام طريقة التحليل إلى العوامل في حل المعادلات التكعيبية. وفيما يلي خطوات تحليل الفرق بين المكعبات، وتحليل مجموع المكعبات مباشرة:

تحليل الفرق بين مكعبين

يمكن تحليل الفرق بين مكعبين كما يلي:

1. فتح قوسين متجاورين، حيث يكون القوس الأول يتسع لحدين، والقوس الثاني يتسع لثلاثة حدود.
2. اتبع القانون الرياضي مع الالتزام بعلامات الجمع والطرح: أ³ – ب³ = (أ – ب)(أ² + أ ب + ب²).

تحليل مجموع مكعبين

يمكن تحليل مجموع مكعبين كما يلي:

1. فتح قوسين متجاورين، بحيث يتسع القوس الأول لحدين، بينما القوس الثاني يتسع لثلاثة حدود.
2. اتبع القانون الرياضي مع الالتزام بإشارات الجمع والطرح: أ³ + ب³ = (أ + ب)(أ² – أ ب + ب²).

تحليل العبارات الجبرية المرفوعة لأس أكبر من 3

في بعض الأحيان، قد تحتوي المعادلات على درجات أكبر من 3، وفي هذه الحالة ينبغي تبسيطها. يمكن الاستفادة من طرق التحليل المذكورة أعلاه، مع الأخذ في الاعتبار أن الحل سيكون أكثر تعقيداً بعض الشيء مقارنةً مع المعادلات التربيعية والتكعيبية.

يعتمد حل العبارات المرفوعة لأس أعلى على شكلها. على سبيل المثال، في حال وجود حدود من الدرجة الرابعة وحدود الدرجة الثانية، يمكن استخراج العامل من الدرجة الثانية كعامل مشترك، ثم حله باستخدام طريقة تحليل العبارة التربيعية.

أمثلة على تحليل الجمل إلى العوامل

• المثال الأول:

2 س² – 4 س – 16 = 0

العبارة تربيعية من الدرجة الثانية.

1. افتح قوسين كما يلي: ( ) × ( ).
2. استخرج العدد 2 كعامل مشترك: (2) × (س² – 2 س – 8) = 0.
3. حلّل العبارة التربيعية داخل القوس الأكبر بفتح قوسين أصغر، حيث يتحلل الحد الأول، أما الحد الأخير فيحل بطريقة التخمين كما تم شرحه سابقًا: 2(س – 4)(س + 2).
4. العوامل هي: 2، (س – 4)، (س + 2).

• المثال الثاني:

-4 س² + 12 س = 0

1. يمكن استخراج عاملين مشتركين اثنين من العبارة التربيعية: العامل المشترك الأول هو العدد الثابت 4، والعامل المشترك الثاني هو المتغير س، فتصبح العبارة كالآتي: 4 س ( – س + 3) = 0.
2. العوامل هي: (4 س) ، (- س + 3).

• المثال الثالث:

س² – 25 = 0

1. افتح قوسين كما يلي: ( ) × ( ).
2. تعبئة القوسين بالأعداد المناسبة بالتجربة بحيث ينتج حاصل ضربهما المعادلة الأصلية.
3. (س – 5) × (س + 5).
4. العوامل هي: (س – 5)، (س + 5).

• المثال الرابع:

3 س³ – 27 س = 0

1. يمكن استخراج عاملين مشتركين من العبارة التكعيبية، أحدهما العدد الثابت 3، والآخر هو المتغير س، فتصبح العبارة: (3 × س) × (س² – 9) = 0.
2. ما بداخل القوس الثاني عبارة تربيعية يمكن حلها بطريقة التخمين لتصبح المعادلة: (3 × س) × (س – 3)(س + 3) = 0.
3. العوامل هي: (3 س)، (س – 3)، (س + 3).

• المثال الخامس:

س² + 9 س + 14 = 0

1. افتح قوسين كما يلي: ( ) × ( ).
2. تعبئة القوسين بالأعداد المناسبة بالتجربة بحيث ينتج حاصل ضربهما المعادلة الأصلية.
3. (س + 7) × (س + 2).
4. العوامل هي: (س + 7)، (س + 2).

• المثال السادس:

س³ – 8 = 0

لتحليل الفرق بين مكعبين إلى عوامله:

1. س³ – 8 = س³ – 2³.
2. افتح قوسين بحيث يكون القوس الثاني أكبر من القوس الأول.
3. قم بتعبئة القوسين حسب القانون.
4. (س – 2) × (س² + 2 س + 4) = 0.
5. العوامل هي: (س – 2)، (س² + 2 س + 4).

• المثال السابع:

س³ + 216 ص³ = 0

لتحليل مجموع مكعبين إلى عوامله:

1. س³ + 216 ص³ = 0.
2. س³ + (6 ص)³ = 0.
3. افتح قوسين بحيث يكون القوس الثاني أكبر من القوس الأول.
4. قم بتعبئة القوسين بالأعداد المناسبة حسب القانون.
5. (س + 6 ص) × (س² – 6 س ص + 36 ص²) = 0.
6. العوامل هي: (س + 6 ص)، (س² – 6 س ص + 36 ص²).