فهم العلاقة بين الانحراف المعياري والمتوسط الحسابي

الانحراف المعياري (Standard Deviation) هو مقياس يستخدم لتحديد مدى تشتت البيانات وبعدها عن المتوسط الحسابي. يرمز له بالرمز (σ)، ويعكس مدى انتشار البيانات حول المتوسط الحسابي ويحدد عرض المنحنى ومدى اقترابه من المحور الأفقي. من جهة أخرى، يتم تعريف المتوسط الحسابي (Mean) كمتوسط مجموعة من القيم التي تحتوي على رقمين أو أكثر. يُحسب بجمع جميع قيم البيانات في المجموعة ثم تقسيم الناتج على عددها الكلي، ويرمز له بالرمز (x̅). يُعد المتوسط الحسابي بمثابة مركز البيانات عند توزيعها على المنحنى الطبيعي. تجدر الإشارة إلى أن هناك ارتباطًا وثيقًا بين المتوسط الحسابي والانحراف المعياري، حيث يزداد الانحراف المعياري كلما ابتعدت البيانات عن المتوسط الحسابي.

طرق حساب الانحراف المعياري والمتوسط الحسابي

حساب المتوسط الحسابي

يمكن حساب المتوسط الحسابي لمجموعة من البيانات باستخدام الصيغة التالية:

المتوسط الحسابي = مجموع قيم جميع البيانات / عدد البيانات الكلي

بالرموز:

م = (س1 + س2 + س3 + … + سن) / ن

بالرموز الإنجليزية:

(x̅ = ∑ (xi) / n

حيث إن:

• م (x̅): المتوسط الحسابي.
• س (xi): قيمة بيانات المجموعة.
• ن (n): العدد الكلي للقيم.

مثال

احسب المتوسط الحسابي للأرقام التالية:

25، 20، 37، 32، 47، 40. مجموع الأرقام في المجموعة هو = 25 + 20 + 37 + 32 + 47 + 40 = 201، وعدد الأرقام = 6، لذلك المتوسط الحسابي هو:

201 / 6 = 33.5.

حساب الانحراف المعياري

للقيام بحساب الانحراف المعياري، نبدأ باستخدام المتوسط الحسابي. يمكن تمثيله بالصيغة التالية:

الانحراف المعياري = √((القيمة الأولى – الوسط الحسابي)² + (القيمة الثانية – الوسط الحسابي)² + … + (القيمة الأخيرة – الوسط الحسابي)²) / (عدد القيم الكلي – 1)

بالرموز:

ح م = √((س1 – م)² + (س2 – م)² + … + (سن – م)²) / (ن – 1)

بالرموز الإنجليزية:

[(σ = √[∑((xi – x̅)²) / (n – 1]

حيث إن:

• ح م (σ): الانحراف المعياري.
• م (x̅): المتوسط الحسابي.
• س (xi): قيمة بيانات المجموعة.
• ن (n): العدد الكلي للقيم.

مثال

لنأخذ عينة من القيم التالية: (1، 2، 2، 4، 6). أولاً، نجد المتوسط الحسابي للعينة:

الوسط الحسابي = (1 + 2 + 2 + 4 + 6) / 5 = 15 / 5 = 3.

ثم نقوم بطرح المتوسط الحسابي من كل قيمة وتربيع الناتج، مع تكرار العملية لكل القيم:

(1 – 3)² = (-2)² = 4

(2 – 3)² = (-1)² = 1

(2 – 3)² = (-1)² = 1

(4 – 3)² = (1)² = 1

(6 – 3)² = (3)² = 9.

نجمع الناتج من الخطوات السابقة: 4 + 1 + 1 + 1 + 9 = 16، ثم نقسم الناتج على عدد القيم مطروحًا منه 1:

16 / (5 – 1) = 16 / 4 = 4.

وأخيرًا، نجد الجذر التربيعي للناتج السابق لإيجاد قيمة الانحراف المعياري للعينة:

الانحراف المعياري للعينة = √4 = 2.