التغير الطردي والتغير المشترك

في مجال الرياضيات، يتم التعامل بصورة شائعة مع نوعين من الكميات: الكميات المتغيرة، والتي تُعرف بالمتغيرات، والكميات الثابتة، المعروفة بالثوابت. إذا كانت قيمة الكمية تبقى ثابتة في مجموعة من الحالات، فإنها تُعتبر ثابتة، مثل الرقم 2. ومن جهة أخرى، تُسمى الكميات التي تتغير قيمتها تحت ظروف مختلفة بالمتغيرات، على غرار المتغير س.

العلاقة بين المتغيرات

في علم الجبر، يتم إنشاء علاقات بين المتغيرات بحيث يمكن أن يرتبط متغيران أو أكثر وفق مجموعة من العلاقات، ومنها:

• التغير الطردي: يشير إلى العلاقة التي يتغير فيها المتغيران بشكل متناسب؛ أي عندما يزداد أحد المتغيرات يزداد الآخر، وعندما ينقص أحدهما ينقص الآخر بشكل متناسب.
• التغير العكسي: هو العلاقة التي تعكس تغير أحد المتغيرات بزيادة الآخر.
• التغير المشترك: يحدث عندما يتغير أحد المتغيرات طرديًا مع حاصل ضرب متغيرين آخرين، مثل العلاقة بين مساحة مثلث وارتفاعه وقاعدته.
• التغير المركب: ينشأ عند تغير أحد المتغيرات طرديًا أو عكسيًا، أو كلاهما مع متغيرين أو أكثر.

التغير الطردي

التغير الطردي يتمثل في علاقة تربط بين متغيرين بحيث إذا زاد أحدهما، فإن الآخر يزداد وفق نسبة ثابتة، وإذا نقص أحد المتغيرات، فإنه ينقص الآخر بنفس النسبة. هذه النسبة تُعرف بثابت التناسب. إذا تم تمثيل العلاقة بين المتغيرين المرتبطين بعلاقة طردية عبر رسم بياني، فإن هذا سيتخذ شكل خط مستقيم. على سبيل المثال، إذا كان المتغير س يتناسب طردياً مع المتغير ص فإن: ص/ س = م، حيث (م) هو ثابت التناسب.

التغير المشترك

التغير المشترك يمثل علاقة تتضمن متغيرًا واحدًا ومتغيرين آخرين، حيث يتناسب أحد المتغيرات طرديًا مع حاصل ضرب المتغيرين الآخرين. هذا التناسب يكون وفق نسبة ثابتة، بحيث يمكننا التعبير عن ثابت التناسب (م) بقسمة أحد المتغيرات على حاصل ضرب المتغيرات الأخرى. على سبيل المثال: يتغير المتغير ع طردياً مع حاصل ضرب المتغيرين (س، ص)، وفي هذه الحالة يكون م = ع / (س * ص).

أمثلة على التغير الطردي

مثال (1): إذا كانت العلاقة بين المتغير (ص) والمتغير (س) هي علاقة طردية، فأوجد ثابت التناسب إذا كان ص = 24، س = 3.

الحل: بما أن العلاقة بين ص وس هي طردية، فإن ص / س = م، حيث م هو ثابت التناسب.

إذاً 24 / 3 = 8، وبالتالي ثابت التناسب هو 8.

مثال (2): إذا كانت العلاقة بين (ص) و(س) هي علاقة طردية، وكانت قيمة ص = 30 عندما تكون س = 6، فأوجد قيمة ص عندما تكون س = 100.

الحل: نظرًا لأن العلاقة بين ص وس طردية، فإن ص / س = م، حيث م هو ثابت التناسب.

إذًا 30 / 6 = 5، إذًا ثابت التناسب هو 5.

إذاً ص / س = م، وإذا ضربنا طرفي المعادلة في “س”، تصبح المعادلة ص = م * س.

إذًا: ص = 5 * 100 = 500، وبالتالي قيمة ص تكون 500 عندما تكون س = 100.

مثال (3): إذا كانت العلاقة بين المتغير (ن) والمتغير (ك) علاقة طردية، وكان ثابت التناسب يساوي (5/3)، فأوجد قيمة ن عندما تكون ك = 9.

الحل: نظرًا لأن العلاقة بين ن وك طردية، فإن ن / ك = م، حيث م هو ثابت التناسب ويساوي في هذا المثال (5/3).

إذًا: ن / 9 = 5 / 3، وعند ضرب طرفي المعادلة بالعدد 9 تصبح المعادلة كالتالي:

ن = (5 * 9) / 3 = 45 / 3 = 15

بالتالي ن = 15 عندما ك = 9.

مثال على التغير المشترك

مثال: إذا كانت العلاقة بين المتغير (ع) والمتغيرين (س) و(ص) علاقة مشتركة، وكان ع = 6 عندما تكون ص = 4 و س = 3، فأوجد قيمة ع عندما تكون ص = 4 و س = 7.

الحل: بما أن العلاقة بين ع و(ص، س) هي علاقة مشتركة، فإن ع / (س * ص) = م، حيث م هو ثابت التناسب.

إذًا م = 6 / (4 * 3) = 6 / 12 = 2، وبالتالي ثابت التناسب يساوي 2.

إذاً 2 = ع / (4 * 7)، وعند ضرب طرفي المعادلة في 28

28 * 2 = ع، إذن ع = 56.