نظرة عامة على العدد النيبيري

يُعتبر العدد النيبيري، المعروف أيضاً بثابت أويلر (ثابت أويلر)، واحدًا من أكثر الثوابت الرياضية شهرةً بعد الثابت باي. يُرمز له باللغة الإنجليزية بالحرف (e) وبالعربية بالحرف (هـ)، ويقدر بحوالي (2.7182818284590452353602874713527). يُصنف العدد النيبيري كعدد غير نسبي ولا نهائي، مما يعني أنه لا يمكن التعبير عنه كسرا عاديا. يُعتبر هذا العدد أساس اللوغاريتم الطبيعي، الذي قام المختص الاسكتلندي جون نابير بتطويره، ومن هنا تأتي تسميته. والاسم الآخر، ثابت أويلر، يتم إطلاقه نسبةً إلى العالم السويسري ليونهارد أويلر. يُرمز اللوغاريتم الطبيعي إلى (لــهـ) في العربية، وإلى ln بالإنجليزية.

من المهم أن نلاحظ أن الدوال التي تحتوي على العدد النيبيري، مثل ق(س) = هـ س، واللوغاريتم الطبيعي لــ(لــهـ س)، تُستخدم بشكل شائع في العديد من التطبيقات العلمية، بما في ذلك معادلات اضمحلال الإشعاعي في مجالي الكيمياء والفيزياء، ومعادلات النمو السكاني، وكذلك دراسات تقلبات درجات الحرارة. كما يمكن استخدام اللوغاريتم الطبيعي في حل المعادلات الأسية المختلفة، كما هو موضح في المثال التالي:

• مثال: إيجاد حل المعادلة الأسية التالية: 3 س² – 1 = 8
  • تطبيق اللوغاريتم على كلا طرفي المعادلة: لــهـ (3 س² – 1) = لــهـ 8.
  • باستخدام قواعد اللوغاريتم: (س² – 1) × لــهـ 3 = لــهـ 8.
  • الناتج سيكون: س² – 1 = لــهـ 8 / لــهـ 3، وبالتالي س = √((لــهـ 8 / لــهـ 3) + 1).

اكتشاف العدد النيبيري

بدأت فكرة العدد النيبيري في عام 1618م عندما قام العالم نابير بإنشاء جدول يوضح اللوغاريتمات الطبيعية لبعض الأعداد. على الرغم من أن مفهوم اللوغاريتمات لم يكن معروفًا في ذلك الحين بالأسلوب الحالي، فقد ساهم هذا العمل في التمهيد لفهم العدد النيبيري. في وقت لاحق، اكتشف سانت فنسنت العلاقة بين مساحة المنطقة الواقعة أسفل القطع الزائد القائم، لكنه لم يتمكن من التعبير عنها بشكل مباشر. في عام 1661م، أدرك هيجنز العلاقة بين اللوغاريتمات والقطع الزائد القائم، موضحاً أن المساحة تحت القطع الزائد بين 1 و هـ تساوي 1، وهو ما أتاح للعدد النيبيري أن يصبح الأساس للوغاريتم الطبيعي فيما بعد.

في عام 1668، استخدم نيكولاس مركاتور مفهوم اللوغاريتم الطبيعي لأول مرة، معرّفًا إياه على أنه اللوغاريتم الذي أساسه العدد النيبيري (هـ)، لكنه لم يستطع تحديد قيمة هـ بدقة. بعد ذلك، في عام 1683م، حاول ياكوب برنولي حل مشكلة تتعلق بالفائدة المركبة، مستخدمًا مبرهنة ثنائي الحدود (Binomial theorem)، ليصل إلى تقدير محدد لقيمة نهاية (1 + (1/n))^n كـ n تقترب من المالانهاية، مما أظهر قيمته بين 2 و 3، وترجح هذه القيمة إلى العدد النيبيري هـ. يتضح بأن تحديد قيمة العدد النيبيري لأول مرة لم يكن عبر اللوغاريتمات، بل من خلال حساب الفائدة المركبة.

ظهرت القيمة الحقيقية للعدد النيبيري لأول مرة في عام 1960م عندما أرسل ليبنيز رسالة إلى هيجنز، موضحًا فيها القيمة الدقيقة للعدد النيبيري، لكنه استخدم الرمز (b) وليس (هـ) أو (e). بعد ذلك، استخدم أويلر الرمز (e) أو (هـ) للعدد النيبيري في رسالة كتبها إلى غولدباج عام 1731، ليبدأ بحوثه واكتشافاته المتعددة حول هذا الثابت في السنوات التالية.

في عام 1748م، نشر أويلر بحثًا علميًا قدّم فيه مفهوم العدد النيبيري وقيمته الحقيقية. حيث أوضح أن قيمته تساوي نهاية (n/(1+1)^n) عندما تقترب n من المالانهاية، وقام بتقريب هذا العدد إلى 18 منزلة عشرية، حيث أصبحت قيمته تُقدّر بـ 2.718281828459045235.

طرق حساب العدد النيبيري

تتعدد الطرق لمعرفة قيمة العدد النيبيري، ولكن تجدر الإشارة إلى أن جميع هذه الطرق قد لا تعطي نتيجة دقيقة تمامًا نظرًا لطبيعة العدد النيبيري كعدد غير نسبي ولا نهائي، ويحتاج لأكثر من تريليون منزلة عشرية للتعبير عنه بدقة. فيما يلي أبرز هذه الطرق:

حساب العدد النيبيري باستخدام النهايات

يمكن التعبير عن عدد النيبيري بالنهاية التالية: (1 + (1/n))^n. كلما اقتربت قيمة n من المالانهاية، كانت النتيجة أدق، كما هو موضح أدناه:

حساب العدد النيبيري باستخدام المتسلسلة

تُعطى قيمة العدد النيبيري بالعلاقة: (1/0!) + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + (1/4!) + (1/5!) + (1/6!) + (1/7!) + …… حيث تعني علامة (!) الضرب. وبالتالي، بتحصيل نتيجة هذه القيم نجد:

• قيمة العدد النيبيري = 1 + 1 + (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = …… 2.71666.
• ومن الجدير بالذكر أن العالم أويلر استخدم هذه المتسلسلة لتحديد قيمة العدد النيبيري بدقة تصل إلى 18 منزلة عشرية.

خصائص العدد النيبيري

يمكن تلخيص خصائص العدد النيبيري على النحو التالي:

• مقلوب العدد النيبيري يعادل نهاية (n → ∞) (1 – (1/x))^x، والتي تساوي 1/هـ.
• مشتقة العدد النيبيري يمكن تقسيمها إلى جزئين:
  • مشتقة العدد النيبيري المُرفوع لأس متغير مثل: (هـ^س) تساوي هـ^س.
  • مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لــ(لــهـ س) تساوي 1/س.
  • ∫ هـ^س dx = هـ^س + جـ.
  • ∫ لــهـ س dx = (س × لــهـ س) – س + جـ.
  • التكامل المحدود من 1 إلى هـ للدالة ∫(1/x) dx = 1، يمكن الوصول إلى هذه النتيجة باحتساب المساحة بين دالة (1/x) والمحور السيني في الفترة بين 1 و هـ، والتي تعادل لــهـ هـ = 1.
  • حاول أويلر ربط بعض الثوابت الرياضية المعروفة، فتوصل إلى المعادلة: هـ^(i × π) + 1 = 0؛ حيث إن π هو الثابت باي، وقيمته تقريباً 3.14.
  • i هو الجذر التربيعي للعدد -1، حيث i = √(-1).
  • هـ هو العدد النيبيري، وتقديره التقريبي = 2.71828182845.

استخدامات العدد النيبيري

يوجد العديد من التطبيقات للعدد النيبيري في مجالات العلم والعمليات، ومن أبرزها:

• يُستخدم في العلاقات اللوغاريتمية والأسية.
• يستخدم في حساب الفائدة المركبة.
• يُستخدم في حساب معدل اضمحلال النشاط الإشعاعي.
• يُطبق في العديد من المعادلات الفيزيائية المتعلقة بالموجات، بما في ذلك الضوء والصوت والكم.
• يُستخدم في مجالات نظرية الاحتمالات.