الأعداد المركبة أو العقدية

الرقم المركب يُعرف بأنه عبارة عن مجموع عدد حقيقي ورقم افتراضي. يتم تمثيل العدد المركب في الشكل القياسي a+bi، حيث يمثل a الجزء الحقيقي بينما يمثل bi الجزء الافتراضي. يتم التمييز بين الأعداد الافتراضية والأعداد الحقيقية من خلال تربيع العدد، حيث ينتج عن تربيع الأعداد الحقيقية عدد موجب، بينما ينتج عن تربيع الأعداد الافتراضية عدد حقيقي سالب. علاوة على ذلك، يمكن إجراء عمليات حسابية مختلفة على الأعداد المركبة، مثل الجمع والطرح والضرب.

تصنيف الأعداد المركبة

يمكننا أن نستنتج أن العدد المركب يعد عددًا حقيقيًا، وأن العدد الحقيقي يمكن أيضًا أن يُعتبر عددًا مركبًا عند تحقق الشرطين التاليين:

• يعتبر الرقم الافتراضي عددًا مركبًا إذا كانت a=0 في المعادلة a+bi.
• يعتبر الرقم الحقيقي عددًا مركبًا إذا كانت b=0 في المعادلة a+bi.

أهمية الأعداد المركبة في حياتنا

تظهر أهمية الأعداد المركبة في العديد من المجالات التطبيقية، ومن أبرزها:

• الهندسة الكهربائية.
• ميكانيكا الكم.
• حل المعادلات متعددة الحدود.
• الأبحاث العلمية.
• معالجة الإشارات الكهرومغناطيسية.
• ديناميكيات السوائل.
• تحليل الاهتزازات.

تمثيل الأعداد المركبة بيانياً

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بيانياً من خلال افتراض قيم للمتغيرات وتعويضها في المعادلة للحصول على أزواج مرتبة، ثم تمثيلها كإحداثيات على المستوى الإقليدي، المعروف بمستوى أرجاند نسبةً إلى العالم جان روبرت أرجاند، الذي يتكون من محورين: محور x ومحور y.

خصائص الأعداد المركبة

تتسم الأعداد المركبة بعدد من الخصائص الذي يسهم في فهمها بشكل أفضل وإجراء العمليات الحسابية المختلفة، ومن هذه الخصائص:

اقتران الأعداد المركبة

يتم بناء اقتران العدد المركب من خلال أخذ نفس الجزء الحقيقي وتغيير الجزء الافتراضي إلى مقلوب الجمعي. إذا كان مجموع وحاصل ضرب عددين مركبين هما رقمين حقيقيين، يُطلق عليهما الأعداد المركبة المترافقة.

مقلوب الأعداد المركبة

يتم استخدام مقلوب الأعداد المركبة في عمليات القسمة، حيث تساوي عملية قسمة رقم مركب على آخر حاصل ضرب رقم مركب مع مقلوب الرقم الآخر.

مساواة الأعداد المركبة

تشابه مساواة الأعداد المركبة بمساواة الأعداد الحقيقية.

ترتيب الأعداد المركبة

عملية ترتيب الأعداد المركبة غير ممكنة حيث لا تحتوي على بنية محددة للأرقام المرتبة.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

يمكن إجراء عمليات حسابية متعددة مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة على الأعداد المركبة، وفيما يلي شرح لأهم هذه العمليات:

جمع الأعداد المركبة

عملية الجمع في الأعداد المركبة تشبه تلك في الأعداد الطبيعية، حيث يتم إضافة الجزء الحقيقي إلى الجزء الحقيقي والجزء الافتراضي إلى الجزء الافتراضي. وتتبع عملية جمع الأعداد المركبة الخصائص التالية:

• قانون الإغلاق؛ حيث إن مجموع عددين مركبين هو أيضًا عدد مركب.
• القانون التبادلي.
• قانون التجميع.
• المعاكسة الجمعي.

طرح الأعداد المركبة

يتم إجراء عملية الطرح بشكل منفصل بين الأجزاء الحقيقية والافتراضية، حيث يتم طرح كل جزء على حدة.

ضرب الأعداد المركبة

معدل ضرب الأعداد المركبة يختلف قليلاً عن ضرب الأعداد الطبيعية، حيث يتم ضرب القيم المطلقة لكل من العددين ثم إضافة وسيطاتهما للحصول على حاصل الضرب.

قسمة الأعداد المركبة

تستخدم معادلة مقلوب العدد المركب في عملية قسمة الأعداد المركبة.

المتطابقات الجبرية للأعداد المركبة

تسهل المتطابقات الجبرية للأعداد المركبة عمليات الجمع والطرح عندما يتواجد الأس 2 أو 3.

الأعداد في علم الجبر

تعتمد دراسة علم الجبر على مجموعة متنوعة من الأرقام، ومن أبرز أنواع الأرقام المستخدمة:

• الأعداد الحقيقية؛ تشمل كافة الأعداد سواء كانت كسور، أو أعداد صحيحة، أو أعداد عشرية.
• الأعداد الطبيعية؛ وهي الأعداد التي تمثل أعدادًا أكبر من صفر دون كسور.
• الأعداد الصحيحة؛ تضم الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الصفر.
• الأعداد المنطقية؛ تتضمن الأعداد العشرية أو تلك التي لها نمط متكرر.
• الأعداد غير المنطقية؛ وهي أرقام حقيقية لا يمكن كتابتها على شكل كسور.