مقدمة حول الأعداد الزوجية والفردية

تنقسم الأعداد الصحيحة إلى فئتين رئيسيتين: الأعداد الزوجية، وهي الأعداد التي يمكن تقسيمها على 2 دون أن تترك باقي، والأعداد الفردية التي يتعذر تقسيمها على 2 دون أن ينتج عن ذلك بقايا، حيث يكون باقي قسمتها هو 1.

من الأمثلة على الأعداد الزوجية: (2، 8، 16)، بينما تشمل الأعداد الفردية: (1، 9، 15). يجب أن يكون كل عدد صحيح إما فرديًا أو زوجيًا، ولا يمكن أن يجتمع كلا الصنفين في عدد واحد في الوقت ذاته. ومن الجدير بالذكر أن الكسور لا يمكن تصنيفها كأعداد زوجية أو فردية، لأنها تعتبر أجزاء من الأعداد وليست أعدادًا كاملة، ويمكن تمثيلها بطرق مختلفة.

خصائص الأعداد الزوجية والفردية

تتسم الأعداد الزوجية والفردية بمجموعة من الخصائص، تتضمن:

• العدد صفر يُعتبر عددًا زوجيًا، لأن العدد الذي يسبقه أو يتلوه من الأعداد الفردية يكون عددًا زوجيًا، فمثلًا صفر يسبق العدد واحد (1) الذي هو عدد فردي، مما يجعله عددًا زوجيًا.
• كل من مجموعة الأعداد الزوجية والفردية غير منتهية، إذ لا يمكن تحديد العدد الأخير في كل مجموعة (2، 4، 6، 8، 10، ….) و(3، 5، 7، 9، 11، 13، ….).
• الأعداد الزوجية والفردية تتوزع بشكل متناوب، على سبيل المثال في ترتيب الأعداد 1، 2، 3، 4 سيكون الشكل كالآتي: 1: فردي، 2: زوجي، 3: فردي، 4: زوجي، وهكذا.
• كل الأعداد التي تنتهي بالآحاد (1، 3، 5، 7، 9) تعتبر فردية، بينما الأعداد التي تنتهي بالأرقام (8، 6، 4، 2، 0) تعتبر زوجية.
• يمكن توزيع الأعداد الزوجية بالتساوي على مجموعتين، بينما عند توزيع الأعداد الفردية على مجموعتين فإن الباقي عادة سيكون 1.
• يمكن التعبير عن العدد الزوجي بصيغة 2 × ك، بينما يُعبر عن العدد الفردي بصيغة 2 × ك + 1، حيث ك هو عدد صحيح.

العمليات على الأعداد الزوجية والفردية

العمليات الجمع والطرح

تتميز عمليات الجمع والطرح للأعداد الزوجية والفردية ببعض الخصائص، منها:

• عند جمع عددين زوجيين، يكون الناتج عددًا زوجيًا دائمًا، مثل 4 + 2 = 6؛ حيث عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي.
• عند جمع عدد زوجي مع عدد فردي، يكون الناتج فرديًا، على سبيل المثال 6 + 3 = 9؛ أي عدد زوجي + عدد فردي = عدد فردي.
• عند جمع عددين فرديين، يكون الناتج زوجيًا، مثل 3 + 5 = 8؛ وبالتالي عدد فردي + عدد فردي = عدد زوجي.

عملية الضرب

تتميز عملية الضرب للأعداد الزوجية والفردية بعدة خصائص، تشمل:

• حاصل ضرب عددين زوجيين سيكون زوجيًا، مثل: 4 × 8 = 32؛ وبالتالي عدد زوجي × عدد زوجي = عدد زوجي.
• ضرب عدد زوجي في عدد فردي يعطي عددًا زوجيًا، كـ 4 × 7 = 28، أي عدد زوجي × عدد فردي = عدد زوجي.
• بينما حاصل ضرب عددين فرديين ينتج عددًا فرديًا، كـ 5 × 7 = 35؛ أي عدد فردي × عدد فردي = عدد فردي.

عملية القسمة

تتسم عملية القسمة للأعداد الزوجية والفردية بمجموعة من الخصائص، منها:

• قسمة عددين فرديين على بعضهما قد ينتج عددًا فرديًا أو كسريًا، كما في 3 / 1 = 3 أو 9 / 7 = 1.28؛ إذًا عدد فردي ÷ عدد فردي = عدد فردي أو عدد كسري.
• قسمة عددين زوجيين قد تعطي عددًا زوجيًا أو فرديًا أو كسريًا، مثل 8 / 2 = 4 أو 12 / 4 = 3 أو 2 / 4 = 0.5؛ أي عدد زوجي ÷ عدد زوجي = عدد زوجي أو فردي أو كسري.
• قسمة عدد فردي على عدد زوجي تعطي دائمًا عددًا كسريًا، مثل 9 / 4 = 2.25؛ أي عدد فردي ÷ عدد زوجي = عدد كسري.
• قسمة عدد زوجي على عدد فردي قد تعطي عددًا زوجيًا أو كسريًا، مثل 12 / 3 = 4 أو 12 / 7 = 1.71؛ أي عدد زوجي ÷ عدد فردي = عدد زوجي أو كسري.

أمثلة عن الأعداد الزوجية والفردية

المثال الأول: قم بتصنيف الأعداد التالية إلى زوجية وفردية: 20، 112، 67، 111، 999، 446.

• الحل: بالنظر إلى منزلة الآحاد، نجد أن:
  • 20، 112، 446: أعداد زوجية لأنها تنتهي بالأرقام (4، 2، 0) على التوالي.
  • 67، 111، 999: أعداد فردية لأنها تنتهي بالأرقام (9، 1، 7) على التوالي.

المثال الثاني: هل الناتج لـ (47630750675 + 453407032) × 549068453 زوجي أم فردي؟

• الحل: العدد (47630750675) فردي، والعدد (453407032) زوجي، لذا ناتج جمع عدد فردي + عدد زوجي = عدد فردي.
• ناتج جمع (47630750675 + 453407032) فردي، والعدد (549068453) فردي، وحاصل فردي × فردي = عدد فردي.

المثال الثالث: هل ناتج أ² + أ زوجي أم فردي، علمًا بأن أ عدد زوجي؟

• الحل: ناتج أ² زوجي، لأن العدد الزوجي × العدد الزوجي = عدد زوجي.
• ناتج أ² + أ زوجي كذلك، لأن العدد الزوجي + العدد الزوجي = عدد زوجي.

المثال الرابع: هل ناتج 160 × 7 زوجي أم فردي؟

• الحل:
• العدد 160 زوجي لأنه ينتهي بالصفر.
• العدد 7 فردي لأنه ينتهي بالعدد سبعة.
• ناتج 160 × 7 زوجي، لأن فردي × زوجي = زوجي.

المثال الخامس: حدد ما إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في المعادلة التالية:

81 ÷ س = 9

الحل:

• بناءً على خاصية القسمة: عدد فردي ÷ عدد فردي = عدد فردي أو عدد كسري.
• لذلك، تكون قيمة س عددًا فرديًا وهو 9.

المثال السادس: حدد ما إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في المعادلة التالية:

س × 3 = 21

الحل:

• استنادًا إلى خاصية الضرب: عدد فردي × عدد فردي = عدد فردي.
• إذًا، س هو عدد فردي وهو 7.

المثال السابع: حدد ما إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في الجملة:
8 + 1 = س

الحل:

• استنادًا إلى خاصية الجمع: عدد زوجي + عدد فردي = عدد فردي.
• لذلك، فإن س هو عدد فردي وهو 9.

المثال الثامن: حدد ما إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في المعادلة:
99 – س = 20

الحل:

• استنادًا إلى خاصية الطرح: عدد فردي – عدد فردي = عدد فردي.
• لذلك، يكون س عددًا فرديًا وهو 79.

المثال التاسع: حدد ما إذا كان العدد المجهول (س) عددًا زوجيًا أم فرديًا في المعادلة:
46 + س = 52

الحل:

• استنادًا إلى خاصية الجمع: عدد زوجي + عدد زوجي = عدد زوجي.
• لذلك فإن س هو عدد زوجي وهو 6.

هل العدد صفر يعتبر زوجيًا أم فرديًا؟

يعتبر العدد صفر عددًا زوجيًا، لأن الأعداد الزوجية تقبل القسمة على 2. إذا كان ناتج قسمة أي عدد على 2 عددًا صحيحًا، فإن هذا العدد يُعتبر زوجيًا. وعند قسمة صفر على 2 تكون النتيجة 0، وهو عدد صحيح، لذا يمكن تصنيفه كعدد زوجي.

فيديو تعريفي حول مجموعات الأعداد

للاطلاع على المزيد من المعلومات، يُمكنكم متابعة الفيديو التالي: