كيفية حساب ارتفاع المثلث متساوي الساقين

يُعرَف المثلث متساوي الساقين بأنه المثلث الذي يمتلك ضلعين متساويين في الطول، بالإضافة إلى أن زواياه في قاعدته متطابقة. يُعتبر ارتفاع المثلث، الذي يُعرف بأنه الخط المستقيم الذي يصل بين رأس المثلث وقاعدته، عمودياً على القاعدة، ويمكن قياسه من خلال استخدام عدة قوانين رياضية. تشمل هذه القوانين: قانون مساحة المثلث، ونظرية فيثاغورس، وقانون هيرون.

حساب الارتفاع باستخدام قانون مساحة المثلث

يمكن حساب ارتفاع المثلث إذا كانت مساحة المثلث وطول قاعدته معروفة، حسب المعادلة التالية:

• مساحة المثلث = ½ × طول القاعدة × الارتفاع، ومن ثم يمكن إعادة ترتيب المعادلة للحصول على ارتفاع المثلث كالتالي: ارتفاع المثلث = (2 × مساحة المثلث) / طول القاعدة؛ وبالرموز: ع=(2×م)/ق؛ حيث:
  • ع: ارتفاع المثلث.
  • م: مساحة المثلث.
  • ق: قاعدة المثلث.

على سبيل المثال، إذا كان طول قاعدة مثلث 20 سم ومساحته 120 سم²، يمكن حساب ارتفاعه باستخدام المعادلة السابقة كالتالي:

• 120 = ½ × 20 × الارتفاع، ومن ثم يمكن إيجاد الارتفاع ليكون 12 سم.

حساب الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس

تستخدم نظرية فيثاغورس بشكل خاص مع المثلثات قائمة الزاوية، ويمكن تطبيقها على المثلث متساوي الساقين لمعرفة أطوال أضلاعه إذا كنا نعلم طول قاعدته وطول أحد ضلعيه المتساويين. الخطوات هي كالتالي:

• إسقاط عمود من رأس المثلث على قاعدته لتقسيمها إلى نصفين، مما يُنتج مثلثين قائمي الزاوية ومتطابقين.
• اعتبر أن طول أحد ضلعي المثلث هو الطول الوتر.
• اعتبر أن طول قاعدة المثلث القائمة هو نصف طول قاعدة المثلث متساوي الساقين.
• تطبيق قانون نظرية فيثاغورس كما يلي: (طول الضلع أو الوتر)² = (طول نصف القاعدة)² + (الارتفاع)². وبترتيب المعادلة نحصل على: الارتفاع = √(مربع طول الساق – مربع طول القاعدة/4). وبالرموز: ع = √(أ² – ب²/4)؛ حيث:
• ع: ارتفاع المثلث.
• أ: طول إحدى ساقي المثلث متساوي الساقين.
• ب: طول القاعدة.

مثلاً، لحساب ارتفاع مثلث متساوي الساقين بطول قاعدة 12 سم وطول أحد ساقيه المتساويين 20 سم، يجب التعويض بالقيم في قانون نظرية فيثاغورس ليكون:

• 20² = 6² + الارتفاع²، مما ينتج عنه أن الارتفاع = 19 سم.
• أو باستخدام الصيغة: ع = √(أ² – ب²/4)، ليكون: ع = √(20² – 12²/4) = 19 سم.

حساب الارتفاع باستخدام قانون هيرون

يمكن استخدام صيغة هيرون (بالهجة الإنجليزية: Heron’s Formula) لحساب مساحة المثلث عندما تُعرف أطوال أضلاعه الثلاثة. بعد حساب القيمة، يمكن استخدامها لتعويضها في قانون مساحة المثلث لكي نحصل على الارتفاع. يأتي قانون مساحة المثلث وفق صيغة هيرون كالتالي:

• مساحة المثلث = √(س(س-أ)(س-ب)(س-ج))؛ حيث إن:
  • س: نصف محيط المثلث؛ أي مجموع أطوال الأضلاع مقسوماً على 2، وبالرموز: س = (أ + ب + ج)/2.
  • أ: طول الضلع الأول.
  • ب: طول الضلع الثاني.
  • ج: طول الضلع الثالث.

على سبيل المثال، لحساب ارتفاع مثلث متساوي الساقين مع قاعدة بطول 12 سم وطول أحد ساقيه 20 سم، يمكن التعويض في المعادلة السابقة كالتالي:

• س = (أ + ب + ج)/2 = (12 + 20 + 20)/2 = 26 سم.
• مساحة المثلث = √(س × (س-أ) × (س-ب) × (س-ج)) = √(26 × (26-12) × (26-20) × (26-20)) = 114.5 سم².
• حساب ارتفاع المثلث يعطينا: ع = (2 × م) / ق = (2 × 114.5) / 12 = 19 سم.

أمثلة على حساب ارتفاع المثلث متساوي الساقين

• المثال الأول: إذا كان طول قاعدة مثلث متساوي الساقين 12 سم، ومساحته 42 سم²، ما هو ارتفاعه؟

الجواب:

• باستخدام المعادلة: ع = (2 × م) / ق، نحصل على: ع = (2 × 42) / 12 = 7 سم.

• المثال الثاني: إذا كان محيط مثلث متساوي الساقين 22 سم، وطول قاعدته أقل بمقدار 2 سم من ضعفي طول إحدى ساقيه، احسب ارتفاعه.

الإجابة:

• لنفترض أن طول ساقي المثلث يساوي س، وطول القاعدة يساوي 2س – 2، ومن خلال استخدام المعادلة التالية:
• محيط المثلث = 2 × طول إحدى الساقين + طول القاعدة؛ مما يُعطينا: 22 = 2س + 2س – 2، وبالتالي س = 6 سم؛ أي أن طول الساقين = 6 سم وطول القاعدة = 2(6) – 2 = 10 سم.
• باستخدام نظرية فيثاغورس، نحصل على:
• (طول إحدى ساقي المثلث)² = (طول نصف القاعدة)² + (الارتفاع)²، 6² = 5² + (الارتفاع)²، ومن ثم الارتفاع = 3.32 سم.

• المثال الثالث: إذا كان محيط مثلث متساوي الساقين 32 سم، وكان طول قاعدته أقل بمقدار 18 سم من ثلاثة أضعاف طول إحدى ساقيه، احسب ارتفاعه.

الإجابة:

• لنفترض أن طول ساقي المثلث = س، وطول القاعدة = 3س – 18.
• باستخدام المعادلة: محيط المثلث متساوي الساقين = 2 × طول إحدى الساقين + طول القاعدة؛ مما يُعطينا:
• 32 = 2س + 3س – 18، وبالتالي س = 10 سم؛ أي أن طول الساقين = 10 سم وطول القاعدة = 3(10) – 18 = 12 سم.
• حساب القيمة لاستخدام صيغة هيرون يكون كالتالي: س =(أ + ب + ج)/2، س = (12 + 10 + 10)/2 = 16، ومن ثم التعويض في قانون هيرون لنجد:
• مساحة المثلث = √(س(س-أ)(س-ب)(س-ج)) = √(16(16-10)(16-10)(16-12)) = 48 سم².
• حساب الارتفاع بناءً على القانون: ع = (2 × م) / ق؛ ومن ثم نحصل على: ع = (2 × 48) / 12 = 8 سم.

• المثال الرابع: إذا كان محيط مثلث متساوي الساقين 42 سم، وكان طول قاعدته يعادل 3/2 ضعف كل ساق من ساقيه، احسب ارتفاعه.

الإجابة:

• لنفترض أن طول ساقي المثلث = س وطول القاعدة = 3/2س، ومن ثم باستخدام المعادلة:
• محيط المثلث = 2 × طول إحدى الساقين + طول القاعدة، إذن:
• 42 = 2س + 3/2س؛ وبالتالي س = 12 سم؛ أي أن طول الساقين = 12 سم وطول القاعدة = 3/2س = 18 سم.
• باستخدام قانون فيثاغورس: (طول أحد ساقي المثلث)² = (طول نصف القاعدة)² + (الارتفاع)².
• 12² = 9² + (الارتفاع)²؛ وبالتالي الارتفاع = 7.93 سم.