تعتبر أولويات العمليات الحسابية في الرياضيات أساسًا ضروريًا لفهم كيفية تبسيط التعبيرات مثل “4 + 2 × 3”. وفي هذه الحالة، من المهم أن نتساءل: ما هي الطريقة الصحيحة لإجراء العمليات الحسابية المعنية؟

أولويات العمليات الحسابية

قد يبدو أن الإجابة تعتمد على التصور الشخصي للمشكلة، لكن في الرياضيات نحن بحاجة إلى تحديد نهج ثابت.

لا يمكن أن يكون هناك مجال للغموض في الرياضيات؛ إذ يجب أن تؤدي العمليات الحسابية إلى نتائج موحدة.

يؤدي عدم التزامك بالقواعد المنصوص عليها إلى الحصول على نتائج مختلفة لنفس التعبير.

لتبديد أي لبس قد يحدث، توجد هنا مجموعة من القواعد المرتبطة بأولويات العمليات، التي تم إقرارها على الأقل منذ القرن السادس عشر.

تُعرف هذه القواعد بـ “ترتيب العمليات”، والتي تشمل: الجمع، الطرح، الضرب، القسمة، الأس، والتجميع.

الترتيب المتبع لتلك العمليات هو كالتالي: “الأقواس، الأس، الضرب والقسمة، الجمع والطرح”.

يمكننا توضيح ذلك كما يلي: أولويات الأقواس تفوق الأسس، التي بدورها ترتقي على الضرب والقسمة (مع ملاحظة أن الضرب والقسمة في نفس الدرجة). والجدير بالذكر أن الضرب والقسمة يتفوقان أيضًا على الجمع والطرح، التي تندرج معًا في الترتيب الأدنى. وبالتالي، يكون ترتيب الأولويات كما يلي:

• الأقواس (تبسيط القيم داخل الأقواس).
• الأس.
• الضرب والقسمة (من اليمين إلى اليسار عند استخدام الأرقام العربية، ومن اليسار إلى اليمين عند استخدام الأرقام الإنجليزية).
• الجمع والطرح (من اليمين إلى اليسار عند استخدام الأرقام العربية، ومن اليسار إلى اليمين عند استخدام الأرقام الإنجليزية).

تابع أيضًا:

كيفية حل المسائل الرياضية

عند وجود مجموعة من العمليات على نفس المستوى، يتعين عليك العمل من اليسار إلى اليمين.

على سبيل المثال، التعبير “15 ÷ 3 × 4” يُحل كالتالي: “15 ÷ (3 × 4)” وليس بالتقسيم أولًا؛ لأنك بالتحرك من اليسار إلى اليمين، ستكون القسمة هي الخطوة الأولى.

إذا كنت غير متأكد، يمكنك اختبار ذلك باستخدام الآلة الحاسبة الخاصة بك، التي تم برمجتها بناءً على ترتيب العمليات.

عندما تقوم بإدخال التعبير السابق في آلة حاسبة بيانية، ستظهر لك النتيجة:

20 = 15 ÷ 3 × 4

وباستخدام التسلسل الهرمي السابق، نستنتج أن الإجابة الصحيحة في حالة السؤال “4 + 2 × 3” المذكور في البداية هي الخيار الثاني (والذي توصلنا إلى قيمته 10)، إذ يجب أن نقوم بعملية الضرب قبل الجمع.

أهمية ترتيب العمليات الرياضية

تم وضع ترتيب العمليات بهدف تجنب أي سوء تواصل، ولكن يمكن لنظام PEMDAS أن يؤدي إلى نوع من الارتباك.

بعض الطلاب نجدهم يميلون أحيانًا إلى تطبيق التسلسل الهرمي بشكل يُظهر كل العمليات على نفس المستوى (مجرد الانتقال من اليسار إلى اليمين)، لكن غالبًا ما لا تكون هذه العمليات متساوية.

في كثير من الأوقات، يساعد حل المسائل من الداخل إلى الخارج بدلاً من التوجه من اليسار إلى اليمين.

فالكثير من أجزاء المسألة تكون “أعمق” من غيرها. لنتبين ذلك من خلال بعض الأمثلة:

• بسّط المقدار: 32 + 4

الحل: يجب علينا تبسيط المصطلح مع استخدام الأس أولًا، قبل محاولة إضافة العدد 4، وتكون الخطوات كالتالي:

13 = 9 + 4 = 32 + 4، إذن فإن قيمة المقدار المبسطة هي 13

مثال

• بسّط المقدار: 2(1 + 2) + 4

الحل: في هذه المسألة، يجب تبسيط الأرقام داخل الأقواس أولاً، ثم الانتقال لعمليات التربيع. ومن ثم يمكننا إضافة العدد 4، كما هو موضح أدناه:

13 = 9 + 4 = 2(3) + 4 = 2(1 + 2) + 4، إذن فإن قيمة المقدار المبسطة هي 13

مثال آخر

• بسّط المقدار: 2 [(1 – 2-) 1-] + 4

لا يجب التعامل مع هذه الأقواس المتداخلة من اليسار إلى اليمين، حيث أن هذه الطريقة عرضة للخطأ. بدلاً من ذلك، يجب العمل من الداخل إلى الخارج. لنبدأ بتبسيط الأعداد داخل الأقواس المتعرجة.

ثم نعمل على تبسيط ما داخل الأقواس المربعة، وبعد الانتهاء من ذلك يمكننا إجراء عملية التربيع.

وفي النهاية، يمكننا إضافة العدد 4، كما هو موضح أدناه:

2 [(1 – 2-) 1-] + 4

2[(3-) 1-] + 4 =

2[3] + 4 =

9 + 4 =

13 =

لا يوجد فرق جوهري لاستخدام الأقواس المربعة (“[” و “]” هنا) بدلًا من الأقواس العادية، بل هي تُستخدم فقط لتسهيل تتبع الأقواس المستخدمة.

كما تمثل الأقواس المتعرجة (الأحرف “{” و “}”) أداة مساعدة للتمييز بين الأقواس المتداخلة، وليس لها دور بخلاف ذلك.

مثال

• بسّط المقدار: (4/3 + 2/3) 4

الحل: نقوم أولًا بتبسيط الأعداد داخل الأقواس، والأمر كالتالي:

(4/3 + 2/3) 4

أيضًا يمكن اختصارها إلى (3 / 4 + 2) 4 =

(3 / 2) 4 =

3 / 8 =

وهكذا تكون القيمة المبسطة لهذا المقدار هي 3 / 8

مشاكل التبسيط الشائعة

تظهر العديد من المشاكل المتعلقة بالتبسيط عند التعامل مع ترتيب العمليات، وخاصة في حالة الأقواس المتداخلة أو الأس وعلامات الطرح.

لذا، في الأمثلة التالية سنستعرض كيفية التعامل مع هذه الأنواع من التعبيرات.

مثال

• بسّط المقدار: 2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

الحل: يجب تبسيط المقدار من الداخل إلى الخارج: أولًا الأقواس، ثم المربعة، مع مراعاة أن علامة “الطرح” على 3 أمام الأقواس تتعلق بـ 3.

سوف نبدأ بتجميع الأجزاء، ثم نقوم بعملية القسمة تليها إضافة العدد 4، كما هو موضح:

2 ÷ [(3 – 6) 2 – 4] 3 – 4

2 ÷ [(3) 2 – 4] 3 – 4 =

2 ÷ [6 – 4] 3 – 4 =

2 ÷ [2] 3 – 4 =

2 ÷ 6 + 4 =

وبذلك نحصل على 3 + 4 =

7 =

إذًا القيمة المبسطة للمقدار هي 7

مثال آخر

• بسّط المقدار: 5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16

يتعين عليك أن تتذكر ضرورة تبسيط ما بداخل الأقواس قبل إجراء عملية التربيع.

لأن 2(3 – 8) يختلف عن 32 – 82، ويمكن توضيح ذلك كالتالي:

5 ÷ 2(3 – 8) 3 – 16

أيضًا = 5 ÷ 2(5) 3 – 16 =

5 ÷ (25) 3 – 16 =

وبالتالي تصبح 5 ÷ 75 – 16 =

ونصل إلى 15 – 16 =

1 =

وبذلك تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 1

المتغيرات في العمليات الحسابية

إذا كنت قد درست المتغيرات وطرق جمع المصطلحات، فمن المحتمل أن تواجه تمارين مثل:

• بسّط المقدار: [(14x + 5 [6 – (2x + 3)]

الحل: إذا صادفت صعوبة في التعامل مع عملية الطرح خلال الأقواس، يمكنك تحويلها إلى ضرب بالسالب 1 داخل الأقواس (ملاحظة اللون الأحمر المميز “1” أدناه):

[(14x + 5 [6 – (2x + 3)]

ويمكن كتابتها كالتالي [(14x + 5[6 – 1(2x + 3)] =

[14x + 5[6 – 2x – 3] =

لتصبح [14x + 5[3 – 2x] =

14x + 15 – 10x =

4x + 15 =

وبذلك تكون القيمة المبسطة للمقدار هي 4x + 15

مثال

• بسّط المقدار: {2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} –

الحل: ينبغي أن تتذكر أهمية التبسيط في كل خطوة، وكذلك دمج المصطلحات المتشابهة كلما كان ذلك ممكنًا:

{2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x} – =

2x – 1[3 – 1(4 – 3x)] + 6x} – =

من ثم {2x – 1[3 – 4 + 3x] + 6x} – =

بينما تصبح {2x – 1[– 1 + 3x] + 6x} – =

{2x + 1 – 3x + 6x} – =

وبذلك نستنتج أن {2x + 6x – 3x + 1} – =

أي تساوي {5x + 1} – =