أنواع الاقترانات

الاقتران هو علاقة تربط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط من المجال المقابل، مما يعني أن كل اقتران يعتبر علاقة، ولكن ليس كل علاقة تصلح أن تكون اقترانًا. يتم تصنيف الاقترانات إلى عدة أنواع، ومنها:

الاقتران الخطي

الاقتران الخطي هو الذي يحتوي على متغير واحد أو متغيرين، حيث يكون كل منهما مرفوعًا للأس الواحد. صيغته العامة هي: ق(س) = أ س + ب، حيث أ و ب هما أعداد حقيقية وشرط أن يكون أ ≠ 0. يمكن تمثيل هذا الاقتران بيانيًا على شكل خط مستقيم. يكون الاقتران متزايدًا إذا كانت قيمة الثابت (أ) أكبر من 0، ومتناقصًا إذا كانت قيمة الثابت (أ) أقل من 0.

الاقتران التربيعي

يمثل الاقتران التربيعي كثير حدود من الدرجة الثانية، وتكون صيغته العامة: ق(س) = أ س² + ب س + ج، حيث أ و ب و ج هي أعداد حقيقية بشرط أن يكون أ ≠ 0. وبما أن المتغير (س) مرفوع للأس 2، فإن هذا الاقتران له حلان. يمكن تمثيله بيانيًا على شكل منحنى يشبه حذوة الحصان، حيث يفتح المنحنى لأعلى إذا كان معامل س² (أ) أكبر من 0، ويفتح لأسفل إذا كان معامل س² أقل من 0.

كما يتقاطع منحنى الاقتران التربيعي مع محور السينات في نقاط تجعل قيمة الاقتران تساوي صفر، وتعرف هذه النقاط بأصفار الاقتران التربيعي. يمكن استخدام الاقتران التربيعي في التطبيقات العملية مثل تصميم الأنفاق، حيث يساعد في تحديد الارتفاعات المسموح بها.

الاقتران التكعيبي

يعتبر الاقتران التكعيبي من نوع كثير الحدود من الدرجة الثالثة، وتكون صيغته العامة: ق(س) = أ س³ + ب س² + ج س + د، حيث أ و ب و ج و د هي أعداد حقيقية وشرط أن يكون أ ≠ 0. مجال هذا الاقتران ومداه يشمل جميع الأعداد الحقيقية.

الاقتران المتشعب

الاقتران المتشعب هو الاقتران الذي يتضمن أكثر من قاعدة، ولكل قاعدة مجال محدد يختلف عن الآخر. يختلف المدى حسب شروط معينة كما في المثال: ق(س) = { س² + 1، س ≥ 1 / س – 5، س < 1 }.

الاقتران العكسي

يُعرف الاقتران العكسي بأنه الاقتران الذي يتم فيه تبادل المجال والمدى، حيث يصبح المجال هو المدى والمدى هو المجال. يمكن التعبير عن الاقتران العكسي بالصيغة ق⁻¹، كمثال: ق = {(1، 1)، (2، 3)، (5، 3)} فإن ق⁻¹ = {(1، 1)، (3، 2)، (3، 5)}.

الاقتران المحايد

الاقتران المحايد هو الذي يظل فيه كل عنصر في المجال محتفظًا بنفس القيمة في المدى، ويكتب بصيغة ق(س) = س.

اقتران أكبر عدد صحيح

يُعرف اقتران أكبر عدد صحيح بالصيغة ق(س) = ⌊س⌋، وهو الاقتران الذي يرتبط بقيم س بأكبر عدد صحيح أقل أو يساوي س. يُطلق عليه أيضاً بعض الرياضيين لقب “الاقتران الدرجي”، حيث يظهر منحناه وكأنه درجات. يُرمز لاقتران أكبر عدد صحيح بالرمز ⌊ ⌋.

اقتران القيمة المطلقة

الاقتران الذي يحول دائمًا قيمة س إلى قيمة موجبة. تكون صيغته العامة ق(س) = |س|، حيث يُرمز للقيمة المطلقة بالرمز | |. ويتمثل هناك قواعد واضحة مثل |-أ| = أ و |أ| = أ. يمتد مجال اقتران القيمة المطلقة ليشمل جميع الأعداد الحقيقية، في حين يمتد مداه ليشمل جميع الأعداد الحقيقية التي هي أكبر أو تساوي صفر.

الاقتران الأسي

يمكن التعبير عن الاقتران الأسي باستخدام الصيغة ق(س) = أ^س، حيث أ ≠ 1 وأ > 0. يتمتع الاقتران الأسي بعدة تطبيقات حياتية، منها حساب زيادة عدد السكان خلال فترة زمنية معينة ومسائل تتعلق بالتضاعف الكمي.

الاقتران اللوغاريتمي

تم اشتقاق الاقتران اللوغاريتمي من الاقتران الأسي، حيث يُعتبر معكوس للاقتران الأسي. يُكتب بالصيغتين: ق(س) = لوهس (ه هو العدد النيبيري) أو ق(س) = لو 10 س. يتمثل مجال هذا الاقتران في جميع الأعداد الحقيقية، بينما يمتد مداه إلى جميع الأعداد الحقيقية التي هي أكبر من صفر.

الاقتران المركب

ينتج عن تركيب اقترانين، ويمكن التعبير عنه بالصيغ التالية: (ق ∘ ه)(س) حيث يُقرأ “ق بعد ه بالنسبة إلى س”.

الاقترانات المثلثية

أو الاقترانات التي تحتوي في صيغتها على دوال الجيب (جا) وجيب التمام (جتا)، والظل (ظا) والظل التام (ظتا)، والقاطع (قا) والقاطع التام (قتا). كمثال: ق(س) = 3 جتاس.

الاقتران الثابت

الاقتران الثابت هو الذي يمتد مداه من عنصر واحد فقط، ويكتب بالصورة ق(س) = ج، حيث ج هو عدد ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. يمتد مجاله ليشمل جميع الأعداد الحقيقية ومداه يتكون من (ج). يتم تمثيله بيانيًا كخط مستقيم أفقي يوازي محور السينات، حيث يبعد عنه بمقدار الثابت ج. إذا كانت قيمة ج موجبة، يقع الخط أعلى محور السينات، في حين إذا كانت قيمة ج سالبة، يقع الخط أسفل محور السينات.