تشكل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية موضوعًا مهمًا للغاية، ويعود ذلك إلى أهميتها في مجالات متعددة مثل الفيزياء والهندسة. على سبيل المثال، تلعب دورًا حيويًا في فهم كيفية سير السيارات والمراكب على سطح الماء. في هذا المقال، سنستعرض كيفية حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة.

أساليب حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية

تساهم المعادلات التفاضلية بشكل كبير في تحليل العلوم الهندسية، وقد اتسع نطاق استخدامها ليشمل مجالات متعددة من العلوم وتطبيقاتها. فيما يلي طرق حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية:

المثال: x² y” + xy’ + y = 2

هناك عدة طرق لحل هذه المعادلة، لكن الحل العام لها يمكن التعبير عنه كما يلي:

y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + integral particular

نبدأ بالحل كما لو كانت المعادلة تفاضلية متجانسة، ثم نحسب التكامل الجزئي المُعبر عن الدالة في الطرف الأيمن. لنستذكر حل المعادلة التفاضلية المتجانسة، والتي هي:

y” + 3y’ – 4y = 0

الحل: بفرض أن y = e^rx، والذي يمكن كتابته بشكل أدق كالتالي: y = C e^rx

من الأفضل وضع C في نهاية الحل لتفادي أي لبس، حيث تبقى C كما هي في المشتقة أو التكامل، فمثلًا مشتقة 2x ستكون 2، أو المشتقة 2e^x لا تتغير.

ولنفترض أن y = e^rx، حيث r هو عدد حقيقي ثابت. الآن، نحصل على المشتقة الأولى والثانية كما يلي: y’ = re^rx و y” = r² e^rx

وعند التعويض في المعادلة y” + 3y’ – 4y = 0 نحصل على:

r² e^rx + 3re^rx – 4e^rx = 0

بأخذ e^rx كعامل مشترك، يتضح: e^rx [r² + 3r – 4] = 0

حيث أن e^rx لا يمكن أن يكون صفرًا، وبالتالي نستعرض الحل الثاني وهو r² + 3r – 4 = 0

نقوم باستخدام التحليل أو القانون العام، لنجد: (r + 4)(r – 1) = 0

وبذلك نجد أن r = 1 أو r = -4.

وبناءً عليه، فإن كل الحلول الممكنة لهذه المعادلة هي:

y = c1 e^x أو y = c2 e^-4x

حيث c1 و c2 ثوابت، وقد تم إثبات أن الحلين يشكلان تركيبة خطية، مما يعني أن مجموع الحلين يعتبر حلًا للمعادلة. وبالتالي، فإن الحل العام للمعادلة هو:

y = c1 e^x + c2 e^-4x

بشكل عام، يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية y” + ay’ + b y = 0 هو:

y = c1 e^r1x + c2 e^r2x

حيث r1 و r2 هما جذور المعادلة r² + ar + b = 0

تكون المعادلات التي تتخذ هذا الشكل y” + ay’ + b y = Q(x) في الحالة هذه:

الحل العام لها هو حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية:

y = c1 e^r1x + C2 e^r2x + integral particular

المعادلة التفاضلية غير المتجانسة من الدرجة الثانية

المعادلة التفاضلية غير المتجانسة تعرف بأنها تلك التي لا تساوي الطرف الأيمن المعادلة للصفر. على سبيل المثال:

ص» + 4y’ + 4y = 5x² + 3x

الحل: نفترض أن ص = ش(س)الخامس(س)، حيث u(x) و v(x) هما دالتان غير معروفتين، وعند التعويض في المعادلة نحصل على:

u»v + 2u’v’ + uv» + 4u’v + 4uv’ + 4uv = 5x² + 3x

بالتبسيط والتجميع، تصل بنا المعادلة إلى: v(u» + 4u’ + 4u) + u(v» + 2v’ + 4v) = 5x² + 3x

الفرق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة

يكمن الفرق بين المعادلات التفاضلية المتجانسة وغير المتجانسة في أن أحد الأطراف، سواء في يمين المساواة أو يساره، يجب أن يساوي صفرًا. بعبارة أخرى، يجب أن يكون الحد الثابت صفراً.

أما المعادلة التفاضلية غير المتجانسة، فإنه من الضروري أن يكون هناك اقتران غير صفري، أي لا يساوي صفراً على أي من جانبي المساواة.

عند حل المعادلة التفاضلية غير المتجانسة، سيكون الحل عبارة عن حل المعادلة المتجانسة بالإضافة إلى حل المعادلة غير المتجانسة. على الرغم من التشابه بين المعادلة غير المتجانسة والمعادلة المتجانسة، إلا أن الاختلاف يكمن في وجود حد إضافي يختلف عن المتغيرات في مشتقات الاقتران.

في ختام المقال، عرضنا طرق حل المعادلات التفاضلية غير المتجانسة من الرتبة الثانية، والتي تُستخدم بشكل واسع في مجالات الرياضيات والفيزياء والهندسة، بالإضافة إلى وجود استخدامات متعددة في شبكات الهواتف المحمولة ومجال الأبحاث العلمية.